之前写过一篇博客简单提起过 IEEE 754，最近在读 CSAPP，又再次接触到这个浮点数标准。对于其中的舍入规则，书里面讲得不是很清楚，所以断断续续花了几天的时间，才算弄懂了具体的规则，所以打算写篇博客好好记录下。

对于这种数值表示的标准，一定会考虑的情况就是当发生溢出的时候（有可能是正溢出或者负溢出），数值应该怎样表示。在查阅资料的过程中，也发现了一个有趣的概念，偏差。

偏差

对于舍入，可以有很多种规则，可以向上舍入，向下舍入，向偶数舍入。如果我们只采用前两种中的一种，就会造成平均数过大或者过小，实际上这时候就是引入了统计偏差。如果是采用偶数舍入，则有一半的机会是向上舍入，一半的机会是向下舍入，这样子可以避免统计偏差。而 IEEE 754 就是采用向最近偶数舍入（round to nearest even）的规则。

舍入规则

舍入的规则需要区分三种情况，

• 当具体的值大于中间值的时候，向上舍入
• 当具体的值小于中间值的时候，向下舍入
• 当具体的值等于中间值的时候，向偶数舍入

向偶数舍入指的是要保留的最低有效位为偶数，具体规则，

• 要保留的最低有效位如果为奇数，则向上舍入
• 要保留的最低有效位如果为偶数，则向下舍入

中间值

上面的舍入规则，提到了一个很重要的概念，中间值。怎样才能确定这个中间值呢？这也是我花了最多时间理解的。

要找到中间值，先确定要保留的有效数字，找到要保留的有效数字最低位的下一位。如果这位是进制的一半，而且之后的位数都为 0，则这个值就是中间值。

上面的描述比较抽象，来看两个例子

• 十进制的 1.2500，要保留到小数点后一位，下一位是 5，是进制的一半，后面位数都为 0，所以这个值就是中间值
• 二进制的 10.0110，要保留到小数点后两位，下一位是 1，是进制的一半，后面位数都为 0，所以这个值就是中间值

例子

知道了舍入规则之后，我们来看几个具体的例子，以二进制为例，有效位数保留到小数点后两位

• 10.00011，中间值为 10.00100，小于中间值，向下舍入为 10.00
• 10.00110，中间值为 10.00100，大于中间值，向上舍入为 10.01
• 10.11100，中间值为 10.11100，等于中间值，要保留的最低有效位 1 为奇数，向上舍入为 11.00
• 10.10100，中间值为 10.10100，等于中间值，要保留的最低有效位 0 为偶数，向下舍入为 10.10

参考资料

• https://stackoverflow.com/questions/8981913/how-to-perform-round-to-even-with-floating-point-numbers
• https://cs.nyu.edu/courses/spring16/CSCI-UA.0201-001/resources/lecture10.pdf